1972 in Weimar geboren, erhielt Joachim Huschke seinen ersten Fagottunterricht im Alter von zehn Jahren bei Wolfgang Engelhardt. 1985 wurde er an der Spezialschule für Musik in Weimar aufgenommen. Von 1991 bis 1996 studierte er an der Hochschule für Musik Franz Liszt – ebenfalls in Weimar –  bei Manfred Beyer und ab 1993 bei Georg Klütsch.

1991 war Joachim Huschke Preisträger beim Bundeswettbewerb »Jugend musiziert«, 1993 erhielt er den Sonderpreis beim Deutschen Musikwettbewerb in Bonn mit dem Mozart-Sextett, mit dem er ein Jahr später Stipendiat der Stiftung Villa Musica des Landes Rheinland-Pfalz wurde. 

Sein erstes Orchesterengagement führte ihn 1994 als Solo-Fagottist in das Gustav Mahler Jugendorchester. Von 1997 bis 1998 wirkte er als stellvertretender Solo-Fagottist mit Verpflichtung zum 2. Fagottist beim Rundfunk-Sinfonieorchester Berlin mit. Bevor er zur Staatskapelle Dresden kam, war er acht Jahre lang als Solo-Fagottist bei der Dresdner Philharmonie engagiert. Seit 2007 ist Joachim Huschke 2. Fagottist (mit Verpflichtung zu Kontrafagott) der Staatskapelle Dresden.